ast_essay
109年
數學甲
第 1 題
📖 題組：
坐標空間中，設 $E$ 為過原點且由向量 $\vec{u} = (2,0,1)$、$\vec{v} = (0,1,1)$ 所張出的平面。將空間中兩點 $A$、$B$ 垂直投影到平面 $E$ 上，所得投影點依序為 $A'$、$B'$ 兩點。已知 $\vec{AB} \cdot \vec{u} = 5$、$\vec{AB} \cdot \vec{v} = 2$，試回答下列問題。
坐標空間中，設 $E$ 為過原點且由向量 $\vec{u} = (2,0,1)$、$\vec{v} = (0,1,1)$ 所張出的平面。將空間中兩點 $A$、$B$ 垂直投影到平面 $E$ 上，所得投影點依序為 $A'$、$B'$ 兩點。已知 $\vec{AB} \cdot \vec{u} = 5$、$\vec{AB} \cdot \vec{v} = 2$，試回答下列問題。
(1) 若平面 $E$ 方程式為 $x + by + cz = d$，試求實數 $b,c,d$ 之值。（4 分）
(2) 試證明 $\vec{A'B'} \cdot \vec{u} = \vec{AB} \cdot \vec{u}$。（2 分）
(3) 若 $\vec{A'B'} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$，試求實數 $\alpha, \beta$ 之值。（6 分）
(2) 試證明 $\vec{A'B'} \cdot \vec{u} = \vec{AB} \cdot \vec{u}$。（2 分）
(3) 若 $\vec{A'B'} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$，試求實數 $\alpha, \beta$ 之值。（6 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗空間向量與平面的性質。第(1)小題求張出平面的方程式，可將 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 做外積，求得平面法向量後代入原點即可求得 $b, c, d$。第(2)小題需利用「投影」的定義，即 $\vec{AA'}$ 與 $\vec{BB'}$ 皆垂直平面 $E$，因此與平面上的向量 $\vec{u}$ 的內積為 0，將 $\vec{A'B'}$ 拆解成 $\vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'}$ 展開內積即得證。第(3)小題，同樣利用內積分配律，將 $\vec{A'B'} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$ 分別與 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 進行內積，即可由第(2)小題的結論得到一個二元一次聯立方程式，解出 $\alpha$ 與 $\beta$。（註：官方提供之參考解答與此題不符，此處導航針對原試卷之題目提供思考方向。）
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
第(1)小題（2 分） 直線 $CD$ 的斜率為 $m = \frac{0-2}{4-3} = -2$，該直線方程式為 $y - 0 = -2(x - 4)$，即 $y = -2x + 8$，所以 $a = -2$，$b = 8$。 第(2)小題（2 分）
▼ 還有更多解析內容