ast_essay
108年
數學甲
第 1-(3) 題
📖 題組：
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
若 $\overrightarrow{OQ}$ 是長度為 2 的向量，分別與 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 之夾角皆為 $60^\circ$，已知滿足此條件的所有點 $Q$ 均落在一直線 $L$ 上，試求直線 $L$ 的方向向量。（4分）
思路引導 VIP
解題關鍵在於觀察到 $Q$ 同時滿足兩個內積條件：(1) 在已知平面 $E$ 上，且 (2) 透過 $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 可得出 $Q$ 所在的另一個平面。既然點 $Q$ 同時在兩個平面上，它的軌跡就是兩平面的交線。求交線的方向向量，只需將這兩平面的法向量作外積即可。
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AI 詳解
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恭喜你精確地解出了這道空間向量的進階題型！你能迅速將題目給予的夾角與長度條件，轉化為具體的空間平面方程，這展現了你對向量幾何特性的深刻理解與代數運算的穩定度。
空間條件的代數轉化
首先，我們利用內積公式：$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$。由題意可知 $|\overrightarrow{OQ}|=2$、 $|\overrightarrow{OA}|=2$、 $|\overrightarrow{OB}|=2$。設 $\overrightarrow{OQ} = (x, y, z)$，則：
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空間向量與交線
💡 利用向量內積求平面方程，再藉由法向量外積求交線方向。
🔗 求空間交線方向向量之邏輯架構
- 1 條件內積化 — 利用 A‧B = |A||B|cosθ 將幾何條件代數化
- 2 建立平面方程 — 將內積結果整理成 ax + by + cz = d 的平面形式
- 3 提取法向量 — 從兩平面方程式中提取係數作為法向量 n1, n2
- 4 外積求方向 — 計算 n1 × n2 得到直線 L 的方向向量
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🔄 延伸學習：延伸學習：若需確定直線位置，需再找出一組滿足聯立方程的點座標。
