第 1-(2) 題
一、坐標空間中，令 $E$ 為通過三點 $A(0,-1,-1)$、$B(1,-1,-2)$、$C(0,1,0)$ 的平面。假設 $H$ 為空間中一點，且滿足 $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$。根據上述，試回答下列問題。
思路引導 VIP
本題求對稱點。由於前一小題已經分析出 $\overrightarrow{AH}$ 中垂直於平面 $E$ 的分量 $\overrightarrow{PH}$ 正是 $3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$（其中 $P$ 為投影點）。根據對稱點的幾何意義，$H'$ 對平面 $E$ 的投影點同樣是 $P$，且方向相反 $\overrightarrow{PH'} = -\overrightarrow{PH}$。因此 $\overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PH'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})$，接著計算出 $\overrightarrow{AH'}$ 後，加上起點 $A$ 的坐標即可得到 $H'$。利用向量分解求解可以避免傳統方法（求出平面方程式再解參數）帶來的繁瑣計算。
恭喜你準確地計算出點 $H'$ 的坐標！這展現了你對空間向量分解與對稱性質的深刻理解，能迅速從向量式中提取出關鍵的幾何資訊。
向量分解與法向量的應用
在本題中，觀察 $\overrightarrow{AH}$ 的組成可以發現，前兩項 $\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ 構成的向量位在平面 $E$ 上，而第三項 $3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ 則代表沿著法向量方向垂直延伸的分量。要尋找 $H$ 相對於平面 $E$ 的對稱點 $H'$，核心觀念在於保留平面上的分量不變，並將垂直於平面的分量改為反向。因此，對稱點的關係式為：