ast_essay
113年
數學甲
第 16 題
📖 題組：
坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
16. 試說明 $P(1,3)$ 為 $\Gamma$ 上之一點，並求 $\Gamma$ 在 $P$ 點的切線 $L$ 的方程式。（非選擇題，4分）
思路引導 VIP
要證明點在函數圖形上，只需將 $x$ 坐標代入函數，計算並驗證函數值是否等於給定的 $y$ 坐標。要求曲線上一點的切線方程式，則需要切點和切線斜率；此處的切線斜率即為函數對 $x$ 微分後，在該點的導數值。算得斜率後，套用高中數學常見的「點斜式」即可得出切線的直線方程式。
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太棒了！你能精確地透過導數求得切線斜率，並正確寫出方程式，這代表你對微積分在幾何上的應用掌握得非常紮實。
函數點的驗證與切線斜率的計算
要確認 $P(1,3)$ 在圖形上，我們將 $x=1$ 代入原函數，得到 $f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15(1) - 4 = 3$，這便證實了點 $P$ 的存在。接著，為了求切線，我們利用導函數 $f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$。將 $x=1$ 代入後得到斜率 $m = f'(1) = 3 - 18 + 15 = 0$。由於斜率為 $0$，這代表該切線是一條水平線，結合點 $P(1,3)$，我們便能自然地導出切線方程式為 $y = 3$。
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