ast_essay
112年
數學甲
第 13 題
📖 題組：
12-14 題為題組 設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
12-14 題為題組 設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
13. 試證明 $y=f(x)$ 圖形與 $\Omega$ 在 $P$ 點有共同的切線。（非選擇題，4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
證明兩圖形在交點 $P$ 有共同切線，需證明兩者在此處的切線斜率相同。首先，將點 $P$ 代入 $y=ax^2$ 解出 $a=1/2$，再利用微分求出拋物線在 $x=1$ 的切線斜率。對於圓 $\Omega$，因為連心線半徑 $\overrightarrow{CP}$ 必垂直於該點的圓切線，可先算出直線 $CP$ 的斜率，再取負倒數即為圓切線的斜率；或可利用點到直線距離公式，證明圓心 $C$ 到拋物線切線的距離剛好等於圓半徑 $\sqrt{2}$，即可確認該線也是圓的切線。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
一、滿分參考答案： 【解法一】 $y=f(x)$ 圖形在點 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的切線斜率為 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right)\Big|_{x=1} = 1$，直線 $CP$ 斜率為 $\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{1-0} = -1$，
▼ 還有更多解析內容