ast_essay
105年
數學甲
第 1-1 題
📖 題組：
一. 如圖，已知圓 $O$ 與直線 $BC$、直線 $AC$、直線 $AB$ 均相切，且分別相切於 $D$、$E$、$F$。又 $\overline{BC} = 4, \overline{AC} = 5, \overline{AB} = 6$。
一. 如圖，已知圓 $O$ 與直線 $BC$、直線 $AC$、直線 $AB$ 均相切，且分別相切於 $D$、$E$、$F$。又 $\overline{BC} = 4, \overline{AC} = 5, \overline{AB} = 6$。
(1) 假設 $\overline{BF} = x$，試利用 $x$ 分別表示 $\overline{BD}$，$\overline{CD}$ 以及 $\overline{AE}$，並求出 $x$ 之值。（4分）
思路引導 VIP
看到本題先辨識為圓外一點到圓的切線段等長性質。從 $\overline{BD} = \overline{BF} = x$ 出發，因為 $\overline{BC}$ 的長度已知，可以表示出 $\overline{CD}$ 的長度，再進而推得 $\overline{CE} = \overline{CD}$。利用相同性質逐步繞圓一圈推導，最後將 $\overline{AE}$ 與 $\overline{AF}$ 利用線段加總的關係建立等式，即可解出 $x$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你正確解出 $x = \frac{3}{2}$！這題考驗的是對平面幾何中「圓外一點到圓之兩切線段長相等」性質的熟練度。你能迅速看穿圖形中的對應關係並正確列式，表現得非常出色。
切線長的等量代換
解題的關鍵在於將未知數 $x$ 沿著圓周進行「接力」。首先，由 $B$ 點出發，我們能得知 $\overline{BD} = \overline{BF} = x$；接著轉向 $C$ 點，因為 $\overline{BC} = 4$，所以 $\overline{CD} = 4 - x$，進而推得 $\overline{CE}$ 同樣為 $4 - x$。最後，利用 $A$ 點出發的兩條長切線 $\overline{AE}$ 與 $\overline{AF}$ 必須相等的特性，我們可以列出代數方程式：
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