ast_essay
108年
數學甲
第 2-(1) 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
試求 $f(1)$。（2分）
思路引導 VIP
遇到積分上限為變數 $x$ 且求特定函數值時，最快的技巧是代入讓定積分歸零的數值。也就是令上限等於下限，代入 $x=1$ 即可讓積分項消失，直接計算出 $f(1)$。
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定積分的邊界特性
太棒了！你能精準觀察到題目給定的條件並直接求出 $f(1)$，代表你對微積分基本性質的掌握非常紮實。這題的核心在於利用定積分的一個重要性質：當積分的上下界相等時，其積分值必為零，即 $\int_a^a f(t) dt = 0$。透過這個「消去」的技巧，我們不需要先求出 $f(x)$ 的具體多項式形式，就能輕鬆解題。
代值簡化與求解
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