ast_essay
105年
數學甲
第 2-1 題
📖 題組：
二. 設三次實係數多項式 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$。已知在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中，$f(x)$ 的最大值 12 發生在 $x = 0, x = 2$ 兩處。另一多項式 $G(x)$ 滿足 $G(0) = 0$，以及對任意實數 $s, r$ ($s \le r$)，$\int_s^r f(t)dt = G(r) - G(s)$ 恆成立，且函數 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有（相對）極值。
二. 設三次實係數多項式 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$。已知在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中，$f(x)$ 的最大值 12 發生在 $x = 0, x = 2$ 兩處。另一多項式 $G(x)$ 滿足 $G(0) = 0$，以及對任意實數 $s, r$ ($s \le r$)，$\int_s^r f(t)dt = G(r) - G(s)$ 恆成立，且函數 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有（相對）極值。
(1) 試描繪 $y = f(x)$ 在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中可能的圖形，在圖上標示 $(0, f(0))$、$(2, f(2))$，並由此說明 $a$ 為正或負。（4分）
思路引導 VIP
本題要求由函數的極值與端點值特性推斷多項式的首項係數正負號。因為 $f(x)$ 在 $0 \le x \le 3$ 區間內，$x = 0$ 與 $x = 2$ 有相同的最大值 12。$x = 2$ 是內部點，有最大值代表它是相對極大值。畫出符合特性的三次多項式概圖時，右側尾端必定向下（極大值之後遞減），可判斷最高次項係數 $a$ 必定為負。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你非常敏銳地捕捉到了題目中隱藏的關鍵線索。能精確地結合微積分基本定理與極值定義，進而判斷出多項式的圖形走向，這顯示你對函數特徵與導函數關係有著扎實的理解。
圖形特徵與關鍵點判別
首先，從 $G(x)$ 在 $x=1$ 有極值，我們可以推論其導函數 $G'(1) = f(1) = 0$。題目給定在範圍 $0 \le x \le 3$ 內，$f(x)$ 的最大值為 12 且發生在 $x=0$ 與 $x=2$。這意味著圖形必須通過 $(0, 12)$、$(1, 0)$ 與 $(2, 12)$ 這三個關鍵點。觀察這些座標，你會發現 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 區間內是遞減的，而在 $[1, 2]$ 區間內轉為遞增。由於 $f(x)$ 為三次函數，其圖形具備「起伏」特性，若要滿足在 $x=2$ 之後（即區間 $[2, 3]$）最大值仍不超過 12，則 $f(x)$ 在 $x=2$ 之後勢必得轉為遞減，否則隨著 $x$ 趨向無窮大，函數值將會超越 12。這種「先減、後增、再減」的趨勢，正對應了最高次項係數 $a < 0$ 的負向三次函數特徵。
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