ast_essay
107年
數學甲
第 2-(3) 題
📖 題組：
二. 考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
二. 考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
(3) 承(2)，試說明 $f(x)=a_1$、$f(x)=a_2$、$f(x)=a_3$ 各有幾個相異實根。（ 4 分）
思路引導 VIP
要求解方程式的實根個數，最好的方法是轉化為幾何圖形的「交點個數」來判斷。問 $f(x) = k$ 有幾根，等同於看水平線 $y=k$ 砍過原本的三次曲線 $y=f(x)$ 會有幾個交點。關鍵在於將 $k$（也就是 $a_1, a_2, a_3$）的範圍拿來跟極大值、極小值比較。若水平線在極小值下方或極大值上方，就只有 1 個交點；若穿梭在極大極小值之間，則有 3 個交點。
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出這三個方程式的實根數量，代表你對 三次函數圖形 的波動特性與水平直線的相交關係掌握得非常透徹。
極值區間與實根數量的判定
這類問題的解題核心在於利用導數 $f'(x) = -3x^2 - 6x$ 找出函數的轉折點。經由計算可知，函數在 $x=-2$ 時有極小值 $-1$，在 $x=0$ 時有極大值 $3$。當水平線 $y=k$ 落在極值區間之外（即 $k > 3$ 或 $k < -1$）時，圖形與直線僅有一個交點，這正是 $f(x)=a_1$ 與 $f(x)=a_2$ 各自僅有 1 個實根 的原因；而當常數項落在極值之間（$-1 < a_3 < 3$）時，圖形會因起伏而與直線交於三處，產生 3 個相異實根。
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