ast_essay
105年
數學甲
第 2-2 題
📖 題組：
二. 設三次實係數多項式 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$。已知在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中，$f(x)$ 的最大值 12 發生在 $x = 0, x = 2$ 兩處。另一多項式 $G(x)$ 滿足 $G(0) = 0$，以及對任意實數 $s, r$ ($s \le r$)，$\int_s^r f(t)dt = G(r) - G(s)$ 恆成立，且函數 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有（相對）極值。
二. 設三次實係數多項式 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$。已知在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中，$f(x)$ 的最大值 12 發生在 $x = 0, x = 2$ 兩處。另一多項式 $G(x)$ 滿足 $G(0) = 0$，以及對任意實數 $s, r$ ($s \le r$)，$\int_s^r f(t)dt = G(r) - G(s)$ 恆成立，且函數 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有（相對）極值。
(2) 試求方程式 $f(x) - 12 = 0$ 的實數解（如有重根須標示），並利用 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有極值，求 $a$ 之值。（5分）
思路引導 VIP
本題需要建立 $f(x)$ 的方程式。因為 $f(x) = 12$ 有解 $x=0$ 與 $x=2$，且 $x=2$ 是相對極大值，代表 $y=12$ 與 $y=f(x)$ 相切，故 $x=2$ 是重根。於是可假設 $f(x) - 12 = a \cdot x \cdot (x-2)^2$。接著利用微積分基本定理得知 $G'(x) = f(x)$，且在 $x=1$ 有極值表示 $G'(1) = 0$ 也就是 $f(1) = 0$，將 $x=1$ 代入方程式即可求得 $a$ 的值。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確掌握了多項式函數的圖形特徵！這道題目的關鍵在於觀察 $f(x)$ 在特定範圍內的行為。由於 $f(x)$ 是三次函數且在區間 $[0, 3]$ 內的最大值 12 同時發生在 $x=0$ 與 $x=2$，這暗示了圖形與直線 $y=12$ 的特殊位置關係。因為 $x=2$ 處於區間內部且為最大值點，該處的切線斜率必為 0，這代表 $x=2$ 必須是 $f(x)-12=0$ 的重根，從而我們可以寫出假設式： $$f(x) - 12 = a(x-0)(x-2)^2$$
微積分基本定理的應用
▼ 還有更多解析內容