ast_essay
109年
數學甲
第 2 題
📖 題組：
設 $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ 為三次實係數多項式函數。已知 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，試回答下列問題。
設 $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ 為三次實係數多項式函數。已知 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，試回答下列問題。
(1) 若 $f(x) = \frac{1}{3} f'(x)(x + k)$，其中 $k$ 為實數，試求出 $b$（以 $k$ 的數學式表示）。（4 分）
(2) 試證明 $f'(x) = 0$ 有重根。（4 分）
(3) 若知 $f(-1) = 0$，試求積分 $\int_{0}^{1} f(x) dx$ 之值。（4 分）
(2) 試證明 $f'(x) = 0$ 有重根。（4 分）
(3) 若知 $f(-1) = 0$，試求積分 $\int_{0}^{1} f(x) dx$ 之值。（4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗微積分與多項式的結合。第(1)小題由微積分的基本定義著手，寫出 $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$，將其代入恆等式 $f(x) = \frac{1}{3} f'(x)(x + k)$ 中，並比較等號兩側 $x^2$ 的係數，即可利用 $k$ 表示出 $b$。第(2)小題可繼續利用比較係數的方法求出 $c$，接著透過配方法或判別式說明 $f'(x) = 0$ 必定有重根。第(3)小題由於已知 $f'(x)$ 有重根，可知 $f(x) = (x+k)^3$，利用條件 $f(-1) = 0$ 解出 $k$，最終再對多項式進行定積分即可獲得所求。（註：官方提供之參考解答與此題不符，此處導航針對原試卷之題目提供思考方向。）
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第(1)小題（2 分） $P$ 點坐標為 $\frac{1}{2}(0,1,0) + \frac{1}{2}(0,1,1) = (0,1,\frac{1}{2})$。 第(2)小題（2 分）
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