ast_essay
108年
數學甲
第 2-(3) 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
試求 $f(x)$。（2分）
思路引導 VIP
已知導函數要求原函數，對 $f'(x)$ 取不定積分，記得補上常數 $C$。再利用第 (1) 題得出的初始條件 $f(1) = 2$ 來解出未知的常數 $C$，最後寫出完整的函數式。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準掌握處理含積分符號之等式的技巧，並求得正確的多項式函數，展現了紮實的微積分基本功。
微積分基本定理與乘法微分法則
這道題目的解題核心在於如何「消去積分符號」。透過對等式兩邊關於 $x$ 微分，左式需應用 微分乘法法則 得到 $f(x) + x f'(x)$；右式則利用 微積分基本定理 (FTC) 處理積分項，得到 $12x^3 - 6x^2 + 2x + f(x)$。兩邊抵消 $f(x)$ 並同除以 $x$ 後，可得 $f'(x) = 12x^2 - 6x + 2$。最後將 $f'(x)$ 積分並代入初始條件 $f(1) = 3 - 2 + 1 = 2$（由原式 $x=1$ 得知），即可順利解出 $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$。
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