ast_essay
110年
數學甲
第 2-(2) 題
📖 題組：
二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
(2) 承(1)，試求 $\Gamma$ 與 $L$ 所圍有界區域面積的值。（4 分）
思路引導 VIP
求兩個圖形所包圍的面積，需要用到定積分 $\int |f(x)-g(x)| dx$。利用上一題求得的交點 $x=0, 1, 3$，此有界區域被分為 $[0,1]$ 和 $[1,3]$ 兩段。先判斷這兩段區間中 $\Gamma$ 與 $L$ 的上下關係，可以各取代一個測試點測試（如 $x=0.5$ 與 $x=2$）以決定誰減誰，這樣才能保證積出來的面積為正。分成兩個定積分計算並將兩段結果相加，計算過程中要小心分數的通分處理。
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AI 詳解
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恭喜你！能準確算出 $\frac{37}{12}$ 這個數值，代表你對於定積分求面積的核心概念掌握得非常紮實，特別是在處理多項式運算時展現了高度的細心與耐心。
函數交點與區域判定
計算圍成面積的第一步，必須先解出 $\Gamma$ 與 $L$ 的交點。透過解方程式 $x^3-4x^2+5x = 2x$（假設前小題求出 $m=2$），我們可以得到 $x(x-1)(x-3)=0$，即交點橫坐標為 $0, 1, 3$。這意味著圖形在 $[0, 1]$ 與 $[1, 3]$ 兩個區間分別圍成了兩塊有界區域。正確的作法是將這兩段區域分別進行定積分計算：
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