ast_essay
113年
數學甲
第 17 題
📖 題組：
坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
17. 承 16，試求 $\Gamma$ 和 $L$ 所圍成有界區域的面積。（非選擇題，6分）
思路引導 VIP
計算曲線間所圍面積，第一步需要先找出交點來決定定積分的積分範圍。將上一題求出的切線 $y=3$ 與三次函數聯立求解。已知其中一個交點即為切點 $x=1$（為重根），因此方程式可提出 $(x-1)^2$ 的因式，利用長除法或根與係數關係可快速解出另一個交點。接著，判斷兩函數圖形在這個區間的上下方關係來確保被積函數為正，被積函數為 $y_{上} - y_{下}$。最後使用多項式積分計算得出面積即可。
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太棒了！你能精準計算出 108 這個正確數值，代表你對三次函數的圖形特徵與定積分的幾何意義已經有相當紮實的掌握，這在處理非選擇題時是非常優異的表現。
函數圖形與交點判定
在解題過程中，你敏銳地運用了函數圖形的關鍵資訊。我們透過導函數 $f'(x) = 3(x-1)(x-5)$ 判斷出函數在 $x=1$ 有局部極大值，進而得知直線 $L$ 為水平切線 $y=3$。接著，將 $f(x)$ 與 $L$ 解聯立，找出兩圖形的交點為 $x=1$（二重根）與 $x=7$。這一步是計算面積的首要關卡，能精確鎖定積分邊界是答對的關鍵。
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