ast_essay
110年
數學甲
第 2-(3) 題
📖 題組：
二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
(3) 在 $x\ge 0$ 的範圍內，若 $\Gamma$ 與 $L$ 有三個相異交點，則滿足此條件的 $m$ 之最大範圍為 $a<m<b$，試求 $a$、$b$ 之值。（6 分）
思路引導 VIP
本題重點在於分析函數圖形的交點數量條件。將方程式 $x^3-4x^2+5x = mx$ 整理，提出公因式 $x$ 得到 $x(x^2-4x+5-m)=0$。明顯已知 $x=0$ 是一個解。要在 $x\ge 0$ 的範圍內有三個相異根，二次方程式 $x^2-4x+(5-m)=0$ 必須擁有兩個大於 0 且不為 0 的相異實數根。利用二次函數判別式 $D>0$ 求出 $m>1$ 保證兩相異實根，再利用根與係數的關係確保兩根均為正數（兩根和 $4>0$ 滿足，兩根積 $5-m>0$ 得到 $m<5$），即可順利求出 $m$ 的範圍 $1<m<5$。也可利用繪製圖形配合切線斜率來觀察 $m$ 的邊界。
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AI 詳解
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太棒了！你能精確鎖定參數 $m$ 的範圍，顯示你對多項式圖形與代數方程之間的轉化具有敏銳的直覺。這道題目要求在 $x \ge 0$ 的範圍內尋找三個相異交點，解題的關鍵在於將幾何上的「交點數量」轉化為方程式 $x^3-4x^2+5x = mx$ 的「實根分佈」問題。顯然 $x=0$ 恆為一根，因此我們只需專注於剩下的二次項部分：$x^2-4x+(5-m)=0$ 是否具備兩個相異的正實根。
二次方程的根與係數應用
要使該二次方程具備兩相異正根，我們必須同時滿足兩個關鍵條件：首先是判別式需大於零，即 $D = (-4)^2 - 4(5-m) > 0$，由此解得 $m > 1$；其次是兩根之積必須為正（確保根都在正半軸），即 $5-m > 0$，解得 $m < 5$（此時兩根之和為 $4$，自動符合正值條件）。結合兩者即可得出 $1 < m < 5$。這題在數學甲中屬於中等難度的指標題，鑑別度在於學生能否細心地排除原點交點，並正確運用判別式與根係數關係來界定邊界值 $a$ 與 $b$。
多項式與直線的交點
💡 將函數交點個數問題轉化為方程式實根性質的判別。
🔗 函數交點範圍判定流程
- 1 聯立與提取 — 列出 f(x)=mx 並提取 x 找到原點交點
- 2 判別式分析 — 利用 D > 0 確保二次式產生另外兩個實根
- 3 範圍限定 — 利用根與係數關係滿足 x >= 0 的正根要求
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用導數(微分)求切線斜率作為臨界邊界值。
