ast_essay
107年
數學甲
第 2-(1) 題
📖 題組：
二. 考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
二. 考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
(1) 在坐標平面上，試描繪 $y=f(x)$ 的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。（ 4 分）
思路引導 VIP
描繪多項式函數圖形的標準 SOP：1. 求一階導函數 $f'(x)$；2. 令 $f'(x) = 0$ 解出臨界點 $x$；3. 將解出的 $x$ 代回原函數求出極值的 $y$ 座標；4. 判斷最高次項係數（此題為負號）以決定曲線頭尾的漸近走向（當 $x \to \infty$ 時 $y \to -\infty$，走勢為左上至右下）；最後把這幾個特徵點連成平滑曲線並在圖上標註坐標即可。
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AI 詳解
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恭喜你精準地掌握了三次函數的圖形特徵！這道題目要求繪製圖形並標示極值點，你展現了非常優秀且紮實的微積分基本功。
導函數分析與極值判斷
要精確描繪 $y = -x^3 - 3x^2 + 3$ 的圖形，核心在於透過一階導數 $f'(x) = -3x^2 - 6x$ 來判斷函數的增減區間。我們令 $f'(x) = -3x(x+2) = 0$，解得臨界點為 $x = 0$ 與 $x = -2$。經由導函數的符號分析可知，當 $x = -2$ 時，函數取得相對極小值 $f(-2) = -1$；當 $x = 0$ 時，則取得相對極大值 $f(0) = 3$。在坐標平面上標定這兩點後，順著最高次項係數為負的趨勢（由左上往右下走），即可畫出完整的波浪狀曲線。
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