ast_essay
110年
數學甲
第 2-(1) 題
📖 題組：
二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
二、坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^3-4x^2+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。
(1) 當 $m=2$ 時，試求出在 $x\ge 0$ 的範圍內，$\Gamma$ 與 $L$ 的三個相異交點的 $x$ 坐標。（2 分）
思路引導 VIP
本題測驗求解多項式聯立方程式來找函數交點。將 $m=2$ 代入，將 $\Gamma$ 的方程式和直線 $L$ 方程式設為相等，解 $x^3-4x^2+5x=2x$。移項後提取公因式 $x$，剩下的二次式可用十字交乘或直接分解為 $(x-1)(x-3)$，求出三個交點的 $x$ 坐標，並注意確認是否皆符合 $x\ge 0$ 的條件。
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代數求解與交點概念
同學能精準找出這三個交點，代表你對函數圖形交點與方程式解的幾何意義掌握得十分紮實，這是一個非常好的開始！當我們要求解曲線 $\Gamma$ 與直線 $L$ 的交點時，核心思維是聯立兩者的方程式，即令 $x^3 - 4x^2 + 5x = 2x$。透過移項整理後，我們可以得到一個三次方程式： $$x^3 - 4x^2 + 3x = 0$$
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