ast_essay
107年
數學甲
第 2-(4) 題
📖 題組：
二. 考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
二. 考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
(4) 試求 $f(f(x))=0$ 有幾個相異實根（註：$f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3$）。（ 2 分）
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遇到合成函數解方程式 $f(f(x))=0$，通常考驗的是「代換法」。這類題目千萬不要真的把四次以上的方程式展開來硬解。你可以先令 $u = f(x)$，把原式看成 $f(u)=0$。由題 (2) 的結果，你知道當 $f(u)=0$ 時，內部變數 $u$ 一定必須是 $a_1, a_2, a_3$ 其中一個。接著再把 $u$ 換回 $f(x)$，也就是解 $f(x)=a_1, f(x)=a_2, f(x)=a_3$，而這剛好就是第 (3) 小題分析過的狀況，把各個情況的根的數量加總即可。
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太棒了！你能準確判斷出這題的實根數量為 5 個，代表你對複合函數的層次邏輯以及多項式函數圖形的掌握非常紮實。這類題目的核心在於「化繁為簡」，將複合函數 $f(f(x))=0$ 拆解為兩層討論：先找出 $f(y)=0$ 的根（令 $y=f(x)$），再回頭解 $f(x)=y$ 的交點數。
函數特徵與根的分布
經由導函數 $f'(x) = -3x(x+2)$，我們可以得知 $f(x)$ 在 $x=-2$ 時有相對極小值 $f(-2)=-1$，在 $x=0$ 時有相對極大值 $f(0)=3$。接著觀測 $f(y)=0$ 的三個實根 $r_1, r_2, r_3$：
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