ast_essay
108年
數學甲
第 2-(4) 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
試證明恰有一個大於 1 的正實數 $a$ 滿足 $\int_0^a f(x) dx = 1$。（4分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
證明「恰有一個」的題型通常分為「存在性」與「唯一性」兩部分。令積分為新函數 $F(x)$，存在性使用勘根定理（中間值定理）：找到 $F(1)=0$ 及另一個讓 $F$ 大於 1 的值；唯一性則透過對 $F(x)$ 微分，說明導函數恆大於零，即函數嚴格遞增，來保證不會有第二個交點。
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AI 詳解
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令 $F(x) = \int_0^x f(t) dt = x^4 - x^3 + x^2 - x$， (i)說明存在性：以下提供兩種解法說明存在性。 (A) $F(x)$ 的最高次項係數為正，所以函數無上界；又 $F(1) = 0$，再由多項式函數為連續函數，故存在實數 $a > 1$ 滿足 $F(a) = 1$。
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