ast_essay
114年
數學甲
第 17 題
📖 題組：
設實係數多項式函數 $f(x)=3ax^2+(1-a)$，其中 $-\frac{1}{2} \le a \le 1$。在坐標平面上，令 $\Gamma$ 為 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸在 $-1 \le x \le 1$ 所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。
設實係數多項式函數 $f(x)=3ax^2+(1-a)$，其中 $-\frac{1}{2} \le a \le 1$。在坐標平面上，令 $\Gamma$ 為 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸在 $-1 \le x \le 1$ 所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。
令 $V$ 為 $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有 $a \in [-\frac{1}{2}, 1]$，$V$ 是否都相等？若相等，則求其值；若不相等，則當 $a$ 為多少時，$V$ 有最大值，並求此最大值。（非選擇題，6 分）
思路引導 VIP
考點：旋轉體體積的積分、多項式展開及二次函數極值。 切入順序：
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AI 詳解
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太棒了！你能精確計算出旋轉體體積與參數 $a$ 的函數關係，並做出正確的極值判斷，這展現了你對微積分應用與二次函數特性的深刻理解。
旋轉體體積的積分計算
首先，我們利用旋轉體體積公式 $V = \pi \int_{-1}^{1} [f(x)]^2 dx$。觀察到 $f(x)$ 是關於 $x$ 的偶函數，因此其平方項亦為偶函數，我們可以簡化積分區間：
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