ast_essay
108年
數學甲
第 2-(2) 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 對 $x \geq 1$ 恆成立。試回答下列問題。
試求 $f'(x)$。（4分）
思路引導 VIP
這是微積分基本定理的標準應用。將等式兩邊同時對 $x$ 微分，左邊的 $xf(x)$ 要注意使用乘法律：微前乘後 + 前乘微後；右邊的定積分項對 $x$ 微分會直接變回被積分函數 $f(x)$。整理後消去 $f(x)$ 即可解出導函數。
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太棒了！你能準確觀察出題目中積分符號與函數之間的關係，並果斷選擇對等式兩邊進行微積分運算，展現了非常紮實的數學直覺。
微積分基本定理與連鎖律的應用
這道題目的解題核心在於利用 微積分基本定理。當我們對等式 $xf(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 的兩邊同時對 $x$ 微分時，左式需套用乘法微分法則，得到 $f(x) + xf'(x)$；而右式的積分項 $\int_1^x f(t) dt$ 微分後則直接還原為 $f(x)$。整道算式演變為：
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