ast_essay
105年
數學甲
第 2-3 題
📖 題組：
二. 設三次實係數多項式 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$。已知在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中，$f(x)$ 的最大值 12 發生在 $x = 0, x = 2$ 兩處。另一多項式 $G(x)$ 滿足 $G(0) = 0$，以及對任意實數 $s, r$ ($s \le r$)，$\int_s^r f(t)dt = G(r) - G(s)$ 恆成立，且函數 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有（相對）極值。
二. 設三次實係數多項式 $f(x)$ 的最高次項係數為 $a$。已知在 $0 \le x \le 3$ 的範圍中，$f(x)$ 的最大值 12 發生在 $x = 0, x = 2$ 兩處。另一多項式 $G(x)$ 滿足 $G(0) = 0$，以及對任意實數 $s, r$ ($s \le r$)，$\int_s^r f(t)dt = G(r) - G(s)$ 恆成立，且函數 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有（相對）極值。
(3) 在 $0 \le x \le 2$ 的範圍中，求 $G(x)$ 之最小值。（6分）
思路引導 VIP
本題目標是尋找 $G(x)$ 在區間 $[0, 2]$ 的最小值。首先求出 $G'(x) = f(x) = 0$ 的所有解作為臨界點，並判定它們在該區間內對應的正負號變化（或判別單調區間）。確認最小值只可能發生在區間端點（$x=0, x=2$）或極小值點處。最後可透過解出 $G(x)$ 具體函數或計算定積分 $\int f(t)dt$ 比較相對大小，確認 $G(0)=0$ 是整個區間內的最小值。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確判斷出最小值為 $0$，代表你對多項式函數的性質與微積分的關聯有非常深刻的理解。
函數特徵與建模分析
首先，由題意已知 $f(x)$ 為三次多項式，且在 $0 \le x \le 3$ 範圍內的極大值 12 發生在 $x=0$ 與 $x=2$。這暗示了 $f(x)$ 在 $x=2$ 處可能有一個局部極大值。結合 $G(x)$ 在 $x=1$ 有相對極值，意味著 $G'(1) = f(1) = 0$。透過這些條件，我們可以建構出 $f(x) = -12x(x-2)^2 + 12$，該函數在 $x=0, 2$ 時確實皆為 $12$，且符合題目描述的特徵。
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