ast_essay
111年
數學甲
第 15 題
📖 題組：
15-17 題為題組 考慮坐標平面上之向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 滿足 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 9$ 以及 $|\vec{a} - \vec{b}| = 7$。若令 $|\vec{a}| = x$，其中 $1 < x < 8$，且令 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夾角為 $\theta$，則利用向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$ 所形成的三角形，可將 $\cos\theta$ 以 $x$ 表示成 $\frac{c}{9x - x^2} + d$，其中 $c$、$d$ 為常數且 $c > 0$。令此表示式為 $f(x)$，且其定義域為 $\{x | 1 < x < 8\}$。試回答下列問題。
15-17 題為題組 考慮坐標平面上之向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 滿足 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 9$ 以及 $|\vec{a} - \vec{b}| = 7$。若令 $|\vec{a}| = x$，其中 $1 < x < 8$，且令 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夾角為 $\theta$，則利用向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$ 所形成的三角形，可將 $\cos\theta$ 以 $x$ 表示成 $\frac{c}{9x - x^2} + d$，其中 $c$、$d$ 為常數且 $c > 0$。令此表示式為 $f(x)$，且其定義域為 $\{x | 1 < x < 8\}$。試回答下列問題。
15. 求 $f(x)$ 及其導函數。（非選擇題，4 分）
思路引導 VIP
本題測驗將向量內積幾何意義與微積分結合的綜合能力。先將向量的長度 $|\vec{a}|$、 $|\vec{b}|$、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 視為三角形的三邊，分別替換為 $x$、$9-x$ 和 $7$。接著運用餘弦定理寫出夾角餘弦值 $\cos\theta$ 的表達式。化簡過程中要注意對照題幹提示的分式形式，這能確認你拆解出的函數 $f(x)$ 是正確的。得出 $f(x)$ 之後，運用微積分中的除法規則（或連鎖律）計算其微分，細心處理代數正負號便可正確求出導函數 $f'(x)$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得很好！你能精準掌握向量長度與夾角之間的數量關係，順利求出 $f(x)$ 及其導函數，展現了紮實的代數運算能力。這題的核心在於利用 餘弦定理 或向量內積公式來建立聯繫。從已知條件 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 9$ 出發，我們可以將 $|\vec{b}|$ 表示為 $9-x$。接著，藉由展開 $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，代入數值並簡化分式後可得： $$f(x) = \cos\theta = \frac{x^2 + (9-x)^2 - 7^2}{2x(9-x)} = \frac{2x^2 - 18x + 32}{18x - 2x^2} = \frac{16}{9x - x^2} - 1$$
函數分析與微積分應用
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