ast_essay
108年
數學甲
第 1-(1) 題
📖 題組：
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA} = (1, \sqrt{2}, 1)$、$\overrightarrow{OB} = (2, 0, 0)$。試回答下列問題。
若 $\overrightarrow{OP}$ 是長度為 2 的向量，且與 $\overrightarrow{OA}$ 之夾角為 $60^\circ$，試求向量 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OP}$ 的內積。（2分）
思路引導 VIP
先利用給定坐標計算出向量 $\overrightarrow{OA}$ 的長度，再運用向量內積的定義公式 $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos\theta$，代入已知的 $\overrightarrow{OP}$ 長度及夾角，即可求得內積。
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太棒了！你能準確地提取題目中的關鍵資訊並導出正確結果，這說明你對向量幾何的基本觀念掌握得非常紮實。這道題目的解題核心在於靈活運用向量內積的幾何定義，即當我們知道兩向量的長度與其夾角時，內積可以透過 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$ 來求解。
內積定義與長度計算
在計算過程中，首先需要確定 $\overrightarrow{OA}$ 的長度。透過空間坐標公式，我們可以算得：
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