ast_essay
106年
數學甲
第 2-(3) 題
📖 題組：
二、坐標空間中，$O(0,0,0)$ 為原點。平面 $z = h$（其中 $0 \le h \le 1$）上有一以 $(0,0,h)$ 為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8 點構成正八邊形 $P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$，使得各線段 $\overline{OP_j}$ ($0 \le j \le 7$) 的長度都是 1。請參見示意圖。
二、坐標空間中，$O(0,0,0)$ 為原點。平面 $z = h$（其中 $0 \le h \le 1$）上有一以 $(0,0,h)$ 為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8 點構成正八邊形 $P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$，使得各線段 $\overline{OP_j}$ ($0 \le j \le 7$) 的長度都是 1。請參見示意圖。
(3) 在 $\overrightarrow{OP_0}$ 和 $\overrightarrow{OP_4}$ 夾角不超過 $90^\circ$ 的條件下，試問正八角錐體積 $V(h)$ 的最大值為何？（6 分）
思路引導 VIP
首先需將「夾角不超過 $90^\circ$」的幾何條件轉化為代數限制式，也就是 $\overrightarrow{OP_0} \cdot \overrightarrow{OP_4} \ge 0$。將第一小題所得的結果代入，可求出 $h$ 的合理範圍（下界）。接下來是求函數極值的標準程序：對體積函數 $V(h)$ 求一階導數，找出使 $V'(h)=0$ 的臨界點。分析 $V(h)$ 遞增與遞減的區間，確認極大值發生的位置。特別注意，若極大值發生的 $h$ 不在題目的限制範圍內，則需要檢查範圍邊界的函數值，判定在該指定區間內的最大值究竟發生在臨界點還是邊界上。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準掌握了這道空間幾何與函數極值的綜合題！你能準確找出變數間的關聯並正確計算，表現得非常優異。
空間幾何的條件轉化
首先，由題意知 $P_j$ 在平面 $z=h$ 上，且 $\overline{OP_j}=1$，可推得底圓半徑 $r = \sqrt{1-h^2}$。由於 $P_0$ 與 $P_4$ 為正八邊形的對角頂點，其在 $xy$ 平面的投影向量方向相反，故其向量內積為 $-r^2 + h^2$。在夾角不超過 $90^\circ$ 的條件下，內積必須大於等於 $0$，即 $h^2 \ge 1-h^2$，得出高度限制為 $h \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$。
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