ast_essay
111年
數學甲
第 16 題
📖 題組：
15-17 題為題組 考慮坐標平面上之向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 滿足 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 9$ 以及 $|\vec{a} - \vec{b}| = 7$。若令 $|\vec{a}| = x$，其中 $1 < x < 8$，且令 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夾角為 $\theta$，則利用向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$ 所形成的三角形，可將 $\cos\theta$ 以 $x$ 表示成 $\frac{c}{9x - x^2} + d$，其中 $c$、$d$ 為常數且 $c > 0$。令此表示式為 $f(x)$，且其定義域為 $\{x | 1 < x < 8\}$。試回答下列問題。
15-17 題為題組 考慮坐標平面上之向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 滿足 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 9$ 以及 $|\vec{a} - \vec{b}| = 7$。若令 $|\vec{a}| = x$，其中 $1 < x < 8$，且令 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夾角為 $\theta$，則利用向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$ 所形成的三角形，可將 $\cos\theta$ 以 $x$ 表示成 $\frac{c}{9x - x^2} + d$，其中 $c$、$d$ 為常數且 $c > 0$。令此表示式為 $f(x)$，且其定義域為 $\{x | 1 < x < 8\}$。試回答下列問題。
16. 說明 $f(x)$ 在定義域中遞增、遞減的情況。並說明 $x$ 為多少時 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夾角 $\theta$ 最大。（非選擇題，4 分）
思路引導 VIP
本題旨在判斷函數的單調性並尋找極值。解題有兩種策略：策略一為微分法，令上題求得的 $f'(x) = 0$ 找出臨界點 $x = \frac{9}{2}$，檢驗區間內一階導數的正負號來判定函數遞增與遞減範圍；策略二為代數配方法，因為分子固定，直接對分母二次拋物線分析極值點。另外必須注意陷阱：題幹問的是「夾角 $\theta$ 最大」，由於在三角形內角 $[0, \pi]$ 範圍中，$\cos\theta$ 是隨 $\theta$ 增大而遞減的函數，所以當要求「$\theta$ 最大」等價於尋找「$\cos\theta$ （也就是 $f(x)$）的最小值」。最後必須明確指明發生最小值的 $x$ 之值。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能正確分析這個函數的單調性並找到極值點，顯示你對向量幾何與導數應用的結合掌握得非常紮實。這題的核心在於將幾何關係轉化為代數函數 $f(x) = \cos\theta = \frac{16}{9x - x^2} - 1$，並透過觀察分母的二次函數來判斷整體走勢。
函數單調性與夾角分析
在定義域 $(1, 8)$ 內，分母 $g(x) = 9x - x^2$ 是一個開口向下的拋物線，其頂點位在 $x = 4.5$。當 $x$ 從 $1$ 增加到 $4.5$ 時，$g(x)$ 逐漸增大，導致分式值 $f(x)$ 隨之遞減；而當 $x$ 從 $4.5$ 增加到 $8$ 時，$g(x)$ 開始減小，使得 $f(x)$ 轉為遞增。由於 $\cos\theta$ 在 $[0, \pi]$ 間是一個遞減函數，因此當 $\cos\theta$ 取得最小值時，夾角 $\theta$ 反而會達到最大值。根據前面的分析，最小值發生在分母最大處，即 $x = 4.5$ (或 $\frac{9}{2}$)。
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