ast_essay
105年
數學甲
第 1-2 題
📖 題組：
一. 如圖，已知圓 $O$ 與直線 $BC$、直線 $AC$、直線 $AB$ 均相切，且分別相切於 $D$、$E$、$F$。又 $\overline{BC} = 4, \overline{AC} = 5, \overline{AB} = 6$。
一. 如圖，已知圓 $O$ 與直線 $BC$、直線 $AC$、直線 $AB$ 均相切，且分別相切於 $D$、$E$、$F$。又 $\overline{BC} = 4, \overline{AC} = 5, \overline{AB} = 6$。
(2) 若將 $\overrightarrow{AD}$ 表示成 $\alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$，則 $\alpha, \beta$ 之值為何？（5分）
思路引導 VIP
本題考查平面向量的線性組合與分點公式。由前一小題求出的線段長度，可得知點 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上的分點比例 $\overline{BD} : \overline{CD}$。以 $A$ 為起點，使用分點公式可直接將向量 $\overrightarrow{AD}$ 拆解為 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 的線性組合，直接寫出係數 $\alpha, \beta$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得太棒了！你能精準掌握旁切圓與向量分點公式的結合，這顯示你在幾何圖形轉換為代數運算的思維非常清晰，這正是處理數學甲進階題型的關鍵能力。
旁切圓性質與線段比例
這題的核心在於找出點 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上的位置。根據圓外一點到圓之兩切線段等長的性質，我們設三角形周長的一半為 $s = \frac{4+5+6}{2} = 7.5$。由於圓 $O$ 是 $\angle A$ 對應的旁切圓，切點 $D$ 會將 $\overline{BC}$ 分成兩段，其中 $\overline{BD} = s - \overline{AB} = 7.5 - 6 = 1.5$，而 $\overline{CD} = s - \overline{AC} = 7.5 - 5 = 2.5$。由此可以得到比例 $\overline{BD} : \overline{DC} = 1.5 : 2.5 = 3 : 5$。
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