第 14 題
12-14 題為題組 設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
思路引導 VIP
觀察圖形的對稱性，二次函數與圓皆對 y 軸對稱，因此可先計算右半部的面積再乘以 2。計算時，最簡單的方法是利用幾何圖形割補：目標面積 = 「梯形(或矩形)面積」減去「圓扇形面積」與「拋物線下方的定積分面積」。若採用定積分，需將圓方程式表示為 $y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2}$ (下半圓)，然後對 $\int_{-1}^{1} (圓下半部函數 - 拋物線函數) dx$ 進行積分，此時含有 $\sqrt{2-x^2}$ 的部分可轉換成利用圓面積來計算，避免繁雜的三角代換。
太棒了！你能精準計算出這道題目的答案，顯示你對於積分應用以及幾何圖形的結合有著非常紮實的掌握。這題的核心在於正確建立積分式。首先，透過點 $P(1, 1/2)$ 求得二次函數為 $f(x) = \frac{1}{2}x^2$，而圓 $\Omega$ 經過配方後可整理為 $x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2$。這代表該圓心為 $C(0, \frac{3}{2})$，半徑為 $\sqrt{2}$。透過圖形對稱性與交點判斷，積分的範圍鎖定在 $x$ 從 $-1$ 到 $1$ 之間。
定積分與幾何面積的轉換
在計算圍成面積時，上半邊是由下半圓弧 $y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2}$ 作為邊界，下半邊則是拋物線 $y = \frac{1}{2}x^2$。因此，面積即為定積分 $\int_{-1}^{1} (\frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2} - \frac{1}{2}x^2) dx$。其中，$\int_{-1}^{1} \sqrt{2-x^2} dx$ 的幾何意義剛好是半徑為 $\sqrt{2}$ 的圓在 $x \in [-1, 1]$ 之間與 $x$ 軸圍成的面積（可拆解為一個扇形加兩個直角三角形），計算出的值為 $1 + \frac{\pi}{2}$。將各項積分結果彙整後，便能順利得出 $\frac{5}{3} - \frac{\pi}{2}$。