ast_essay
106年
數學甲
第 1-(3) 題
📖 題組：
一. 在坐標平面上，考慮二階方陣 $A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 所定義的線性變換。對於平面上異於原點 $O$ 的點 $P_1$，設 $P_1$ 經 $A$ 變換成 $P_2$，$P_2$ 經 $A$ 變換成 $P_3$。令 $a = \overline{OP_1}$。
一. 在坐標平面上，考慮二階方陣 $A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 所定義的線性變換。對於平面上異於原點 $O$ 的點 $P_1$，設 $P_1$ 經 $A$ 變換成 $P_2$，$P_2$ 經 $A$ 變換成 $P_3$。令 $a = \overline{OP_1}$。
(3) 假設 $P_1$ 是圖形 $y = \frac{1}{10}x^2 - 10$ 上的動點，試求 $\triangle P_1P_2P_3$ 面積的最小可能值。（4 分）
思路引導 VIP
本題要求 $\triangle P_1P_2P_3$ 的面積最小值。由前一題可知面積為 $\frac{3a^2}{25}$，因此要讓面積最小，就是要尋找能讓距離的平方 $a^2$ 最小的點。而 $a$ 是原點 $O$ 到拋物線 $y = \frac{1}{10}x^2 - 10$ 上動點 $P_1$ 的距離。我們可假設 $P_1(x, \frac{1}{10}x^2 - 10)$，寫出距離的平方 $a^2 = x^2 + (\frac{1}{10}x^2 - 10)^2$。展開後會得到一個關於 $x^2$ 的二次函數，利用配方法即可求出此二次函數的最小值，再將最小的 $a^2$ 代回面積公式中即可得解。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
這題解得非常出色！能正確算出面積為 9，代表你精準掌握了線性變換的幾何意義與解析幾何的極值轉化手法。
旋轉變換與面積性質
觀察方陣 $A$ 的構造，可以發現其形式符合旋轉矩陣 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$，其中 $\cos\theta = 4/5, \sin\theta = 3/5$。由於旋轉變換不改變點到原點的距離，因此 $P_1, P_2, P_3$ 三點皆位在以原點為圓心、半徑為 $a$ 的圓周上。透過座標幾何或向量外積性質，我們可以推導出 $\triangle P_1P_2P_3$ 的面積公式為 $a^2 \sin\theta(1-\cos\theta)$，代入數值後簡化為 $\frac{3}{25}a^2$。這意味著面積的大小完全取決於 $P_1$ 到原點距離的平方。
▼ 還有更多解析內容