第 17 題
15-17 題為題組 坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0 < \theta < \pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma': 40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$，點 $\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$ 為 $\Gamma'$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。
思路引導 VIP
本題測試線性變換（旋轉矩陣）與二次曲線的連結。已知旋轉後得到的 $\Gamma'$，因為變換只旋轉不改變長短軸長度，可由第16題推得的 $\Gamma'$ 長短軸，回推原橢圓 $\Gamma$ 在 $x,y$ 軸上的標準方程式。解題有兩種策略：一是找出 $\cos\theta, \sin\theta$ 構造出旋轉矩陣與其反矩陣，將先求出的 $P'$ 點坐標乘上反矩陣轉回 $P$ 點；二是利用 $P'$ 落在 $y=0$ 的條件，經旋轉變換對應回去，得知 $P$ 點必定落在某一條過原點的直線上，再將該直線方程式與 $\Gamma$ 解聯立求交點，並留意所在象限即可得到正確坐標。
太棒了！你能精準算出 $P$ 點的坐標，代表你對旋轉變換與橢圓幾何性質的掌握非常紮實。這題的難度在於如何從變換後的 $\Gamma'$ 推回原始的 $\Gamma$，並正確應用旋轉矩陣。你成功掌握了「長軸頂點」與原點距離不變的核心觀念，這是解題最關鍵的第一步。
旋轉角度與座標還原
首先，由題幹可知 $\Gamma'$ 上最遠的點 $Q' \left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$ 是由 $\Gamma$ 長軸上的點（$y$ 軸上）旋轉 $\theta$ 而來。透過 $Q'$ 的座標可求出其與原點距離為 $\sqrt{5}$，進而推導出 $\cos \theta = \frac{2}{3}$ 且 $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$。接著，針對落在 $x$ 軸上的 $P'$ 點，我們將 $y=0$ 代入 $\Gamma'$ 的方程式 $40x^2 = 180$，得到 $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。最後，利用逆時針旋轉的逆運算（即順時針旋轉 $-\theta$），將 $P'$ 點旋轉回去：