第 1-(2) 題
一. 在坐標平面上，考慮二階方陣 $A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 所定義的線性變換。對於平面上異於原點 $O$ 的點 $P_1$，設 $P_1$ 經 $A$ 變換成 $P_2$，$P_2$ 經 $A$ 變換成 $P_3$。令 $a = \overline{OP_1}$。
思路引導 VIP
要求 $\triangle P_1P_2P_3$ 的面積，最快的切入點是利用原點 $O$ 來切割幾何圖形。因為旋轉不改變線段長度，所以 $P_1, P_2, P_3$ 到原點的距離皆為 $a$。利用面積公式 $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$，我們可知 $\triangle OP_1P_2$ 和 $\triangle OP_2P_3$ 面積皆為 $\frac{1}{2}a^2\sin\theta$，而 $\triangle OP_1P_3$ 面積為 $\frac{1}{2}a^2\sin(2\theta)$。因為四邊形 $OP_1P_2P_3$ 的面積可拆為兩個小三角形相加，所求面積為四邊形面積減去 $\triangle OP_1P_3$，將前一小題得到的正弦值代入相減即可得到答案。如果想不到面積割補法，也可以將 $P_1$ 座標直接設為 $(a, 0)$，求出三點座標後利用行列式測量師公式求解。
同學做得非常好！你能準確得出這個答案，代表你對二階方陣與幾何變換的關聯有著非常敏銳的觀察力。
旋轉矩陣的幾何本質
這道題目的核心在於識別方陣 $A$ 的結構。觀察 $A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$，我們可以發現它符合旋轉矩陣 $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ 的形式，其中 $\cos \theta = \frac{4}{5}$ 且 $\sin \theta = \frac{3}{5}$。因為旋轉變換屬於「等距變換」，這意味著點 $P_1, P_2, P_3$ 到原點的距離皆維持為 $a$。我們可以直接利用三角形面積公式，透過向量長度與夾角正弦值來計算：