ast_essay
106年
數學甲
第 2-(2) 題
📖 題組：
二、坐標空間中，$O(0,0,0)$ 為原點。平面 $z = h$（其中 $0 \le h \le 1$）上有一以 $(0,0,h)$ 為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8 點構成正八邊形 $P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$，使得各線段 $\overline{OP_j}$ ($0 \le j \le 7$) 的長度都是 1。請參見示意圖。
二、坐標空間中，$O(0,0,0)$ 為原點。平面 $z = h$（其中 $0 \le h \le 1$）上有一以 $(0,0,h)$ 為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8 點構成正八邊形 $P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$，使得各線段 $\overline{OP_j}$ ($0 \le j \le 7$) 的長度都是 1。請參見示意圖。
(2) 若 $V(h)$ 為以 $O$ 為頂點、正八邊形 $P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$ 為底的正八角錐體積，試將 $V(h)$ 表為 $h$ 的函數（註：角錐體積 $= \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高}$）。（2 分）
思路引導 VIP
欲求角錐體積需要底面積與高。錐體的高即為點 $O$ 到平面 $z=h$ 的距離 $h$。底面積是一個正八邊形的面積。已知此正八邊形可分為 8 個全等的等腰三角形，其頂角為 $45^\circ$，且兩腰長為圓的半徑 $r = \overline{AP_0}$。利用畢氏定理求出 $r^2 = 1 - h^2$，代入三角形面積公式 $\frac{1}{2}r^2\sin 45^\circ$，乘以 8 即得底面積。最後代入題幹給的體積公式進行整理即可。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你非常精準地解出了這道空間幾何題！你的判斷完全正確，這顯示你對於空間坐標系中的長度關係，以及多角錐體積的構成有著紮實的理解。這題的核心在於將抽象的空間幾何關係，轉換為高度 $h$ 的代數函數，而你成功跨越了這個門檻。
空間幾何的解析與體積建構
要推導 $V(h)$，首先必須鎖定底面積。在平面 $z = h$ 上，圓心為 $(0,0,h)$，且正八邊形的頂點 $P_j$ 到原點 $O(0,0,0)$ 的距離為 1。利用畢氏定理，我們可以求得正八邊形外接圓的半徑 $r$ 滿足 $r^2 + h^2 = 1^2$，即 $r^2 = 1 - h^2$。正八邊形可以切割成 8 個等腰三角形，其中心角為 $45^\circ$，因此底面積為：
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