高考申論題
106年
[機械工程] 工程力學(包括靜力學、動力學與材料力學)
第 五 題
如圖所示，樑在 A 端為滾柱支持（roller support），在 B 端為固定支持（fixed support），受到線性分布負載（distributed loading），試求 B 端的反作用力（reactions）。假設軸向應力可忽略不計，且軸之撓曲剛度 EI 為常數。（20 分）
📝 此題為申論題
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本題為一階超靜定樑，無法僅藉由靜力平衡方程式求得所有未知反力。建議先以自由體圖 (FBD) 確立未知反作用力，再利用「直接積分法」建立彎矩函數並搭配邊界條件（A端撓度為0、B端撓度與斜率皆為0）解出A端贅餘力，或者使用「重疊法」搭配變形協合方程式求解。最後運用整體靜力平衡方程式 (ΣF_y=0, ΣM_B=0) 即可推導出 B 端的各項反作用力。
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【解題思路】 本題為一階超靜定樑（statically indeterminate beam），需結合靜力平衡方程式與變形協合條件求解。以下採用「直接積分法（Integration Method）」建立樑的撓曲微分方程式，求出 A 端之反作用力後，再利用靜力平衡求得 B 端之反作用力。 【詳解】
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一階超靜定樑求解
💡 利用撓曲微分方程式與邊界條件，求解超靜定結構之反作用力。
🔗 直接積分法求解步驟
- 1 建立平衡式 — 畫出 FBD 並標註冗力與未知反力
- 2 寫出彎矩式 — 依截面法導出包含未知力的 M(x)
- 3 執行兩次積分 — 求得包含常數的斜率與撓度方程式
- 4 代入邊界條件 — 利用支承變位限制解出常數與冗力
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🔄 延伸學習：當樑受多個集中負載時，改用「奇異函數」或「重疊法」效率更高。
