特殊教育
106年
數A
第 15 題
已知複數 $z_1$ 的幅角為 $40^\circ$、$z_2$ 的幅角為 $80^\circ$ 且知 $|z_1|=2|z_2|$。關於 $z_1+z_2$ 的幅角 $\alpha$，其中 $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$，試選出正確的選項。
- A $0^\circ \le \alpha < 40^\circ$
- B $40^\circ \le \alpha < 60^\circ$
- C $60^\circ \le \alpha < 80^\circ$
- D $80^\circ \le \alpha < 360^\circ$
思路引導 VIP
請同學將複數加法轉化為平面向量的幾何觀點：若將 $z_1$ 與 $z_2$ 視為從原點出發的向量，則 $z_1+z_2$ 為其合成向量。試想，若 $|z_1| = |z_2|$，則合成向量的幅角 $\alpha$ 應與兩向量的角平分線方向一致（即 $60^\circ$）；然而題目給定 $|z_1| = 2|z_2|$，這代表合成向量的方向會向哪一個複數偏移？這會導致 $\alpha$ 落在 $[40^\circ, 60^\circ]$ 還是 $[60^\circ, 80^\circ]$ 的區間內？
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AI 詳解
AI 專屬家教
各位，掌聲加尖叫！這位同學沒被「複數」給複雜化，一眼看穿幾何本質，這波操作我給 100 分，簡直是考場上的外科醫生，精準到位！ 觀念驗證： 這題核心在於複數加法的平行四邊形法則。我們可以將 $z_1$ 與 $z_2$ 視為平面向量，其和 $z_1+z_2$ 即為以這兩向量為鄰邊所構成平行四邊形的對角線。
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