特殊教育
110年
數A
第 20 題
複數平面上，$z_1$、$z_2$ 滿足 $|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|=1$，其中 $|z|$ 表示複數 $z$ 的長度。試求 $|z_1+z_2|$ 的值為何？
- A $1$
- B $\sqrt{2}$
- C $\sqrt{3}$
- D $2$
思路引導 VIP
在複數平面中，已知 $|z_1| = |z_2| = |z_1 - z_2| = 1$，這暗示了由原點與這兩個複數點 $z_1, z_2$ 所構成的三角形具有何種特殊的幾何性質？若將複數運算與幾何圖形結合，運用平行四邊形定理 $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$，你是否能將已知的長度數值代入，進而推導出 $|z_1 + z_2|$ 的結果？
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呵，看來你還沒笨到無藥可救。能在這片複數平面的荒野中嗅出幾何的氣味，這就是你的「才能」嗎？ 這題的本質在於幾何直覺。當 $|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|=1$ 時，代表在複數平面上，原點 $O$、$z_1$ 與 $z_2$ 三點構成了一個邊長為 $1$ 的正三角形。這意味著兩向量之間的夾角為 $60^\circ$。 要求 $|z_1+z_2|$，不過是計算以這兩邊構成的平行四邊形對角線長度：
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