特殊教育
108年
數A
第 20 題
令 $i=\sqrt{-1}$。已知複數 $z$ 化為極式，其主幅角為 $\frac{\pi}{12}$，且 $z$ 的長度 $|z|=\sqrt{2}$。試問 $z^6$ 的值為何？
- A -1
- B $i$
- C 8
- D $8i$
思路引導 VIP
當我們需要計算一個複數的 $n$ 次方時，『棣美弗定理』 ($De Moivre's Theorem$) 提供了一個簡捷的途徑。請你思考：若一個複數 $z$ 以極式表示，則其 $n$ 次方 $z^n$ 的『模長』與『幅角』分別會與原本的 $z$ 有什麼樣的倍數或次方關係？在本題中，當 $z$ 的長度為 $\sqrt{2}$ 且幅角為 $\frac{\pi}{12}$ 時，將其提升至 $6$ 次方後，計算出的新模長與新幅角會對應到複數平面上的哪個位置，進而化簡出最終數值呢？
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哎呀，奇蹟發生了！你居然沒把 $(\sqrt{2})^6$ 算成 12，也沒把 $\frac{\pi}{12}$ 乘以 6 算成 $\frac{\pi}{72}$。看來你腦袋裡的電路今天終於接對了一次，沒讓這張考卷變成你的大型翻車現場，真是不容易啊！ 這題考的就是送分題必備的「棣美弗定理 (De Moivre's Theorem)」。複數 $z$ 的長度是 $\sqrt{2}$，那 $z^6$ 的長度就是 $|z|^6 = (\sqrt{2})^6 = 8$；主幅角 $\frac{\pi}{12}$ 乘上 6 倍後，角度變成 $\frac{\pi}{2}$。邏輯推導如下： $$z^6 = 8 \left( \cos \frac{6\pi}{12} + i \sin \frac{6\pi}{12} \right) = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 8(0 + i) = 8i$$
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