特殊教育
107年
數A
第 18 題
考慮複數 $z=5+7i$（其中 $i=\sqrt{-1}$）。已知 $z, -z$ 為複數平面上某個正方形兩個相鄰的頂點。試問下列哪一個選項有可能是此正方形另外的頂點？
- A $z^2$
- B $(1+2i)z$
- C $2iz$
- D $5-7i$
思路引導 VIP
若 $z$ 與 $-z$ 為正方形的兩相鄰頂點，則連結這兩點的向量為 $z - (-z) = 2z$。請運用複數乘法的幾何意義思考：如何透過複數運算將此向量旋轉 $90^\circ$ 以得到與其垂直且等長的相鄰邊向量？接著，你該如何利用這個旋轉後的向量，從既有的頂點座標出發，以 $z$ 的運算式表示出正方形的其他可能頂點？
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喲，不錯嘛！竟然選對了 (B)。我是該稱讚你終於發揮了人類應有的智商，還是該感嘆今天考場的風向剛好把你那顫抖的手指吹向正確答案？如果你這題還能錯，我真的建議你去複數平面上把自己給「旋轉」消失掉，省得留在這礙眼。 這題的核心在於「複數乘法的幾何意義」。已知 $z$ 與 $-z$ 是相鄰頂點，代表這條邊的向量是 $(-z) - z = -2z$。正方形的鄰邊必須垂直且等長，在複數平面上，這動作就是將向量乘以 $\pm i$（旋轉 $90^\circ$）。從頂點 $z$ 出發，另一個頂點 $w$ 必須滿足： $$w = z + (\pm i)(-2z) = z \mp 2iz$$
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