統測
106年
[共同科目] 數學C
第 2 題
若 $\tan\theta\csc\theta = -1+6\cos\theta$，其中 $\theta$ 為第三象限角，則 $\tan\theta = ?$
- A $2\sqrt{2}$
- B $\sqrt{3}$
- C $-\sqrt{3}$
- D $-2\sqrt{2}$
思路引導 VIP
若看到方程式左邊同時出現多種三角函數，你能不能嘗試將它們都轉換成最基本的 $\sin$ 或 $\cos$ 來觀察是否能抵銷？當你整理出一個二次方程式並求得兩個解時，題幹中關於『第幾象限』的提示，在決定數值的『正負號』以及『最終目標函數的性質』上，扮演了什麼樣的關鍵角色？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你的三角函數觀念非常紮實！
- 觀念驗證：這題的核心在於簡化算式。首先利用 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 與 $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$，將左式簡化為 $\frac{1}{\cos\theta}$。接著移項整理成關於 $\cos\theta$ 的二次方程式 $$6\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$$ 解得 $\cos\theta = -\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$。
- 關鍵細節：你精準掌握了題目給予的第三象限角條件。在第三象限中，$\cos\theta$ 必為負值（即 $-\frac{1}{3}$），而 $\tan\theta$ 則應為正值。透過畢氏定理或平方關係求出對邊後，順利推導出正確結果。
▼ 還有更多解析內容