地特三等申論題
106年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
連續隨機變數 X 與 Y 之聯合機率密度函數（joint probability density function）為 $$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2xe^{-y}, & \text{if } 0 < x < 1, y > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$，試求： (一)X 之邊際機率密度函數（marginal probability density function）$f_X(x)$ 與 Y 之邊際機率密度函數 $f_Y(y)$。（7 分） (二)XY 的期望值 E[XY]。（8 分）
連續隨機變數 X 與 Y 之聯合機率密度函數（joint probability density function）為 $$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2xe^{-y}, & \text{if } 0 < x < 1, y > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$，試求： (一)X 之邊際機率密度函數（marginal probability density function）$f_X(x)$ 與 Y 之邊際機率密度函數 $f_Y(y)$。（7 分） (二)XY 的期望值 E[XY]。（8 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
X 之邊際機率密度函數（marginal probability density function）$f_X(x)$ 與 Y 之邊際機率密度函數 $f_Y(y)$。（7 分）
思路引導 VIP
邊際機率密度函數的求法是將聯合機率密度函數對另一個變數在整個定義域上積分。求 X 的邊際函數就對 y 積分，求 Y 的邊際函數就對 x 積分。
小題 (二)
XY 的期望值 E[XY]。（8 分）
思路引導 VIP
期望值 E[XY] 可透過雙重積分 $\int\int xy f_{X,Y}(x,y) dx dy$ 計算；或者由於 $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$，可判定 X 與 Y 獨立，從而使用 E[XY] = E[X]E[Y] 來簡化計算。