高考申論題
106年
[電力工程] 工程數學
第 四 題
每一次白努利試驗（Bernoulli trials）中，成功之機率為 $p$，失敗之機率為 $q=1-p$，則代表在 $n$ 次獨立試驗中成功次數的二項式隨機變數 $x$，其機率分布 $F(x) = C^n_x p^x q^{n-x}, x = 0, 1, 2, 3, \dots, n$。若 $F(x)$ 在 $x=x_0$ 處有極大值，$x_0$ 之值為何？（10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
由於二項式分布為離散型機率分布，求極大值位置等同於尋找相鄰兩項機率比值 $\frac{F(x)}{F(x-1)} \ge 1$ 且 $\frac{F(x+1)}{F(x)} \le 1$ 的 $x$ 區間範圍。
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【解題思路】利用相鄰兩項之比值來尋找離散型機率分布的極大值位置。當比值 $\frac{F(x)}{F(x-1)} \ge 1$ 時代表機率遞增；反之遞減。 【詳解】 已知機率分布 $F(x) = \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x q^{n-x}$，其中 $q=1-p$。
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二項分布眾數推導
💡 利用相鄰項比值法確定離散機率分布之極大值位置（眾數）。
🔗 二項分布極大值推導三步驟
- 1 建立相鄰比值 — 列出 F(x)/F(x-1) 並化簡消去階乘項。
- 2 求解不等式 — 解出使 F(x) ≥ F(x-1) 的臨界範圍 x ≤ (n+1)p。
- 3 判定整數解 — 依據臨界值是否為整數，找出區間內的整數 x0。
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🔄 延伸學習：延伸學習：此法亦可用於推導波氏分布（Poisson）之眾數位置為 λ。
