ast_essay
107年
物理
第 2 題
📖 題組：
二、某些電中性分子的正、負電荷分布並非均勻，而具有特殊的排列。例如圖 11 所示，水分子 H₂O 的負電荷（$-q$，$q>0$）靠近氧原子，而等量的正電荷（$+q$）靠近兩個氫原子連線的中點，正負電荷分離固定距離 $r$，稱為電偶極。以乘積 $qr$ 代表電偶極矩 $p$，並將電偶極矩向量定義為 $\vec{p} = q\vec{r}$，其中相對位置向量 $\vec{r}$ 的方向係從負電荷指向正電荷。已知一水分子的電偶極矩的量值為 $6.3 \times 10^{-30} \text{ C}\cdot\text{m}$。
二、某些電中性分子的正、負電荷分布並非均勻，而具有特殊的排列。例如圖 11 所示，水分子 H₂O 的負電荷（$-q$，$q>0$）靠近氧原子，而等量的正電荷（$+q$）靠近兩個氫原子連線的中點，正負電荷分離固定距離 $r$，稱為電偶極。以乘積 $qr$ 代表電偶極矩 $p$，並將電偶極矩向量定義為 $\vec{p} = q\vec{r}$，其中相對位置向量 $\vec{r}$ 的方向係從負電荷指向正電荷。已知一水分子的電偶極矩的量值為 $6.3 \times 10^{-30} \text{ C}\cdot\text{m}$。
如圖 13 所示，將一水分子置於外加均勻電場 $\vec{E}$ 中，水分子的電偶極矩向量 $\vec{p}$ 與電場 $\vec{E}$ 的夾角為 $\theta$。（a）試證明此水分子所受的力矩量值為 $pE\sin\theta$。（b）當 $E = 5.0 \times 10^4\text{ N/C}$，$\theta=30^\circ$ 時，此水分子所受的力矩量值為何？（4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這題分為推導與計算兩部分。 (a) 力矩定義為力與力臂的乘積。在均勻電場中，電偶極的正負電荷受力大小相等（$qE$）、方向相反，構成「力偶」。對任何轉軸計算其力矩總和皆相等。我們可將轉軸設在負電荷處（或系統內任一點），則正電荷處的施力為 $qE$，力臂為垂直距離 $r \sin\theta$，所以總力矩量值即為 $qE \times r \sin\theta = (qr)E \sin\theta$。由題幹定義 $p = qr$，故證得 $\tau = pE \sin\theta$。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
(a) 假設轉動軸心位於兩電荷連線上之 O 點處，O 點與兩電荷距離分別為 $x$ 與 $r-x$，兩電荷在電場中受力量值均為 $qE$，方向相反，因此水分子所受的力矩量值為 $\tau = \sum rF\sin\theta = qE\sin\theta \cdot (r-x) + qE\sin\theta \cdot x = qrE\sin\theta = pE\sin\theta$。 (b) 水分子所受的力矩量值為 $\tau = pE\sin\theta = (6.3 \times 10^{-30}) \times (5.0 \times 10^4) \times \frac{1}{2} = 1.575 \times 10^{-25} \approx 1.6 \times 10^{-25} \text{ (N}\cdot\text{m)}$