普考申論題 107年 [土木工程] 靜力學概要與材料力學概要

第一題

📖 題組：
圖三(a)之梁受均布載重 q 作用，梁的長度 L=2 m，截面尺寸如圖三(b)所示。

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

求支撐點 BC 的距離 S，使梁之最大彎矩為最小，且求此最小化之最大彎矩 Mmax=？（15 分）

面對最佳化支承位置的題目，核心觀念是『Minimax 原則』：欲使梁中最大彎矩的絕對值達到最小，必須讓跨中最大正彎矩的絕對值與支承處最大負彎矩的絕對值相等。利用靜力平衡與對稱性寫出彎矩與 S 的函數關係後，即可求解。截面圖資為題組背景，本小題直接針對彎矩極值求解即可。

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【解題關鍵】利用對稱性與靜力平衡求出跨中正彎矩與支承處負彎矩方程式，令兩者絕對值相等（即 $|M_{mid}| = |M_B|$），即可解出最佳支撐間距 S。【解答】計算：

接(一)小題求得之 Mmax，若梁之允許拉應力σ allow =8.5 MPa，求最大均布載重 qmax。（10 分）

本題關鍵在於理解『非對稱截面』的中性軸位置會導致正負彎矩下的拉應力發生在不同側（負彎矩導致上緣受拉，正彎矩導致下緣受拉）。應先利用平行軸定理精確計算截面的慣性矩，再以容許拉應力分別反求出正、負彎矩的容許上限，最後代入(一)小題求得之彎矩函數即可解得最大均布載重。

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【解題關鍵】分析正負彎矩下最大拉應力的發生位置，計算截面慣性矩 $I_z$，並以容許拉應力反推最大載重 $q_{max}$。【解答】 Step 1：計算截面慣性矩 $I_z$