高考申論題
107年
[化學工程] 輸送現象與單元操作
第 一 題
📖 題組：
一、一牛頓流體（Newtonian fluid）以層流（laminar flow）流經長度為 L、半徑為 R 之水平圓管。流體之密度 ρ 及黏度 μ 皆為定值。進出口壓力差為ΔP。
一、一牛頓流體（Newtonian fluid）以層流（laminar flow）流經長度為 L、半徑為 R 之水平圓管。流體之密度 ρ 及黏度 μ 皆為定值。進出口壓力差為ΔP。
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
請求解體積流率（volumetric flow rate）Q。（15 分）
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本題為輸送現象中經典的 Hagen-Poiseuille 方程式推導。考生應先列出嚴謹的關鍵假設（如穩態、不可壓縮、全展流等），接著從『殼層動量平衡（Shell Momentum Balance）』著手求出剪應力分佈，代入牛頓黏性定律求出速度分佈，最後將速度對管截面積積分以求得體積流率。
小題 (二)
請求解泛寧摩擦係數（Fanning friction factor）f 與雷諾數（Reynolds number）Re 間之關係式。（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想圓管層流的兩大核心公式：巨觀力平衡求壁面剪應力，以及哈根-波以耳（Hagen-Poiseuille）方程式。接著將兩者代入泛寧摩擦係數（Fanning friction factor）的定義式中，並整理出雷諾數（Re）的無因次群，即可得解。
小題 (三)
上述所得摩擦係數 f 與雷諾數 Re 間之關係式，是否適用於非圓形管內層流之流動？並請解釋其理由。（4 分）
思路引導 VIP
看到此題，應先回想圓管層流摩擦係數公式 f=16/Re 的推導前提，其奠基於『軸對稱的拋物線速度分佈』。接著思考非圓管（如矩形管、環狀管）的幾何邊界條件改變，導致內部速度分佈與壁面剪應力分佈不同，即可推論出原公式無法直接套用的結論。
小題 (四)
對於平滑圓管之紊流（turbulent flow）而言，f = 0.046 Re⁻⁰·²（5 × 10⁴ < Re < 1 × 10⁶）。請問此公式是否適用於非圓形管內紊流之流動？並請解釋其理由。（4 分）
思路引導 VIP
看到「非圓形管」與「圓管經驗公式」的應用轉換，應立即聯想到「水力直徑（Hydraulic diameter）/等效直徑」的概念。解題關鍵在於說明在紊流狀態下，可透過替換雷諾數中的特徵長度，將圓管公式推廣至非圓形管。
小題 (五)
如上述層流或紊流之摩擦係數公式可適用於非圓形管內之流動，此時雷諾數 Re 之直徑應如何定義？（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗非圓形管流動的特徵長度定義。看到非圓形管道，應立即聯想到使用「當量直徑」或「水力直徑」來替代圓管直徑，並寫出其與截面積、濕周長之數學定義公式。