高考申論題
107年
[機械工程] 流體力學
第 一 題
📖 題組：
如下圖所示之裝水矩形容器（rectangular container），其長、寬、高分別為 60、50 與 100 公分，且其原來之水深為 40 公分、水之密度為 1,000 kg/m³。當此矩形容器置於水平面（horizontal surface）進行一向右之等加速運動 a=5(m/sec²) e_x，請求出：（每小題 10 分，共 20 分）
如下圖所示之裝水矩形容器（rectangular container），其長、寬、高分別為 60、50 與 100 公分，且其原來之水深為 40 公分、水之密度為 1,000 kg/m³。當此矩形容器置於水平面（horizontal surface）進行一向右之等加速運動 a=5(m/sec²) e_x，請求出：（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
容器中自由水面之斜率（slope of the free surface）。
思路引導 VIP
看到等加速剛體運動的容器題型，應立即聯想「流體相對靜止」的統御方程式 $\nabla P = \rho(\vec{g} - \vec{a})$。接著利用自由水面上壓力恆為定值（大氣壓力，$dP = 0$）的邊界條件，即可推導出 $x-y$ 平面上水面斜率的關係式 $\frac{dy}{dx} = -\frac{a_x}{g+a_y}$ 並代入數值求解。
小題 (二)
水面之最高位置。
思路引導 VIP
看到「等加速度運動的容器」，首要想到流體處於相對靜止的剛體運動狀態。解題策略為：先利用流體靜力學的壓力梯度方程式求出自由液面的傾斜角；接著依據不可壓縮流體的體積守恆原則，確認液面繞中心旋轉；最後計算最大水位抬升量並確認水未溢出即可求得最高位置。
等加速流體平衡
💡 利用相對靜力平衡原理，求解等加速容器之自由水面斜率。
🔗 自由水面斜率推導流程
- 1 力平衡分析 — 應用尤拉方程式將壓力梯度與加速度及重力連結
- 2 分量偏微分 — 求出 x 向與 y 向的壓力變化率 $\partial P/\partial x, \partial P/\partial y$
- 3 等壓面條件 — 設定自由水面全微分 $dP=0$ 以尋求幾何關係
- 4 斜率解出 — 整理得出 $\frac{dy}{dx} = -a_x / g$ 之斜率定值
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🔄 延伸學習：延伸學習：當存在垂直加速度 $a_y$ 時，分母須修正為 $g+a_y$。
