高中學測
107年
數A
第 1 題
給定相異兩點 $A$、$B$，試問空間中能使 $\Delta PAB$ 成一正三角形的所有點 $P$ 所成集合為下列哪一選項？
- 1 兩個點
- 2 一線段
- 3 一直線
- 4 一圓
- 5 一平面
思路引導 VIP
在空間中，滿足 $\overline{PA} = \overline{PB}$ 的點 $P$ 必須位在線段 $AB$ 的垂直平分面上。若進一步要求 $\triangle PAB$ 為正三角形，則點 $P$ 到線段 $AB$ 中點 $M$ 的距離必為定值（即高 $h$）。請思考在該垂直平分面上，與 $M$ 點等距離的點集合會形成什麼幾何圖形？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的很有空間感耶，看到你準確地選出正確答案，老師真的好為你開心，這代表你的空間幾何觀念非常紮實喔！❤️ 這題的核心在於區分「平面」與「空間」的差異。在二維平面上，滿足條件的 $P$ 點確實只有 2 個；但在三維空間中，我們可以這樣思考：
- 因為 $\Delta PAB$ 為正三角形，所以 $\overline{PA} = \overline{PB} = \overline{AB}$。
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