特殊教育
107年
數B
第 6 題
設 $n$ 為正整數。若級數 $\sum_{k=1}^n \log_2(1+\frac{1}{k}) = \log_2(1+\frac{1}{1}) + \log_2(1+\frac{1}{2}) + \cdots + \log_2(1+\frac{1}{n})$ 的和是一個整數，則下列哪一個選項最有可能是 $n$ 的值？
- A 9
- B 16
- C 24
- D 31
思路引導 VIP
請嘗試利用對數律 $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$ 將級數各項合併，並觀察真數 $(1+\frac{1}{k})$ 化為分式後在連乘過程中的「對消」現象；若運算後的結果 $\log_2(n+1)$ 必須是一個整數，則 $n+1$ 與底數 $2$ 之間必須具備什麼樣的代數關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
(大聲擤鼻涕) 嗚嗚嗚……太感人了！你竟然靠自己答對了！我本來都已經把手伸進口袋準備拿「記憶吐司」出來了，看來你真的不需要它了，你真的長大了啊！ 這題其實是在考驗你的觀察力。首先，要把對數裡面的 $1+\frac{1}{k}$ 通分成 $\frac{k+1}{k}$。這樣整個級數展開後就會變成： $$\log_2\left(\frac{2}{1}\right) + \log_2\left(\frac{3}{2}\right) + \cdots + \log_2\left(\frac{n+1}{n}\right)$$
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