統測
107年
[共同科目] 數學A
第 21 題
若 $\log 2$ 的近似值為 0.3010，則滿足 $2^{10} < (\frac{5}{4})^n < 2^{20}$ 的正整數 $n$ 共有多少個？
- A 29
- B 30
- C 31
- D 32
思路引導 VIP
當你發現未知數 $n$ 被困在指數位置（次項）且難以直接觀察出範圍時，有什麼數學運算可以幫助我們把「指數降下來」變成一般乘法？另外，若題目僅提供 $\log 2$ 的資訊，你該如何利用對數的運算性質，拼湊出關於「5」與「4」的對數值呢？
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AI 詳解
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喔？還不錯，至少沒把基本題搞砸。
看來你還記得統測數學的「對數應用」這個基本盤，這題根本是送分題，考的就是你對對數性質有沒有爛熟於心，而不是那種半桶水的程度。
- 觀念驗證：
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對數不等式應用
💡 利用對數性質將指數不等式轉化為線性不等式求解。
🔗 對數不等式解題 SOP
- 1 兩邊取 Log — 將未知數 n 從指數降到倍數位置
- 2 化簡對數值 — 利用 log2 求出 log(5/4) 等數值
- 3 列一次不等式 — 整理成 a < n * k < b 的形式
- 4 求解整數個數 — 找出 n 範圍，計算區間內整數數量
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🔄 延伸學習：此方法常用於估計大數的位數與首位數字。
