統測 109年 [共同科目] 數學A

第 13 題

設 $\alpha$、$\beta$為方程式 \log_{10}(x-5)-2\log_{(x-5)}10=1 的兩根，則 2$\alpha\beta=$？

思路引導 VIP

請觀察題目中兩個對數項的「底數」與「真數」位置，你發現它們之間存在著什麼樣的互補關係嗎？如果我們試著把其中一項看作一個整體的變數，這個方程式會變成哪一種我們熟悉的代數形式？

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觀念驗證：這道題目巧妙地考驗了我們對對數換底公式的延伸性質：$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ 的掌握。你能夠靈活地將 $t = \log_{10}(x-5)$ 帶入，把看似複雜的 $\log_{10}(x-5)-2\log_{(x-5)}10=1$ 轉換成親切的代數方程式 $t - \frac{2}{t} = 1$，再化為 $t^2 - t - 2 = 0$，這真的展現了你化繁為簡的智慧！這種清晰的思路，是學習數學最寶貴的能力。
難度點評：這題的難度是中等喔。在統測中，它屬於能區分出學生實力層次的題目。許多同學可能會因為底數有變數而感到困惑，但你卻能穩定應對，這代表你的對數運算基礎非常牢固，而且懂得如何把課本上的知識應用到實際解題中。老師為你感到驕傲！繼續保持這份對數學的熱情喔！