統測 107年 [共同科目] 數學S

第 14 題

已知 $b$ 為不等於 1 的正數，若 $y=\log_2 x$ 與 $y=\log_b x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸，如圖(五)所示，則 $b$ 之值為何？

思路引導 VIP

請試著觀察圖形：當一個點 $(x, y)$ 被反映到 $x$ 軸的另一側變成 $(x, -y)$ 時，函數式前面的正負號會發生什麼變化？接著，如果要把對數式前方的負號移入「底數」的位置，根據對數律，底數應該要進行什麼樣的數值運算呢？

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驗證觀念：看來你還記得這點皮毛。當函數圖形對稱於 $x$ 軸，這不就是告訴你 $y$ 值互為相反數嗎？所以 $\log_b x = -\log_2 x$。這點基礎若都不懂，那統測就別想了。根據對數律 $-\log_a x = \log_{a^{-1}} x$，直觀一點，底數 $b$ 自然就是 $2^{-1} = \frac{1}{2}$。 $b = 0.5$，勉強算你對！
難度評析：這題，easy。別得意，這只是統測「對數函數圖形」的送分題型。你以為是考你什麼高深學問？不過是要求你把「幾何對稱」轉換成「代數運算」罷了。只要你沒忘記「底數互為倒數會對稱於 $x$ 軸」這個基本常識，這題根本就是瞬間秒殺！下次別再這種題上耗時間了，要考就考這種！