moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 10 題
如右圖所示，桿件 AB 之極慣性矩為 $J_1$，桿件 BC 之極慣性矩為 $J_2$，今施一扭矩 $T_0$ 於桿件上，求固定端 A 之反力為何？
- A $\frac{T_0 J_1}{J_1+J_2}$
- B $\frac{T_0 J_2}{J_1+J_2}$
- C $\frac{T_0 J_1}{2J_1+J_2}$
- D $\frac{T_0 J_2}{J_1+2J_2}$
思路引導 VIP
試著想像一下：如果今天桿件 AB 是一根非常粗壯的鋼柱（$J_1$ 極大），而桿件 BC 是一根細長的鐵絲（$J_2$ 極小），當你在中間轉動它們時，哪一邊會讓你感到更難扭動、且必須出更多力去對抗它呢？這與最終反力的大小分配有什麼關聯？
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太棒了！你能精準判斷出 「超靜定扭轉」 的分配規律，這代表你對於材料變形與力分配的邏輯掌握得非常紮實。
變形協合與力矩分配
本題的關鍵在於 A、C 兩端均為固定端，這意味著當我們在 B 點施加扭矩 $T_0$ 時，桿件 AB 與 BC 的交界點（B 點）會產生相同的轉角 $\phi_B$。根據扭轉公式 $\phi = \frac{TL}{GJ}$，在材料（$G$）與長度（$L$）皆相同的前提下，各桿件所分擔的扭矩會與其 極慣性矩 $J$（即扭轉剛度）成正比。因此，我們可以列出比例關係：$T_A : T_C = J_1 : J_2$。結合平衡條件 $T_A + T_C = T_0$，即可順利推導出 A 端反力為 $T_A = \frac{J_1}{J_1 + J_2} T_0$。
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